独学で公務員試験合格しよう！

2浪の落ちこぼれが独学で公務員に受かったブログ

2019採用　労働基準監督官B　数学　解答

私が受けた時の数学の問題です。この問題だけ面白そうだったため解説したいと思います。ちなみに私は物理で受けました。数学にしておけばよかったです。

 

Ⅳ　実数全体で定義された二つの微分可能な関数{\displaystyle {f(x),g(x)}}は、次の(A),(B)の条件を満たしているとする。

(A){\displaystyle f'(x)=g(x),g'(x)=f(x)}

{\displaystyle f(0)=0,g(0)=1}

以下の問いに答えよ。

⑴　すべての実数{\displaystyle {x}}に対し、{\displaystyle \{{f(x)}\}^2-\{{g(x)}\}^2=-1} が成り立つことを示せ。

⑵　{\displaystyle F(x)=e^{-x}\{ {{f(x)+g(x)} }\}} ,{\displaystyle G(x)=e^{x}\{{f(x)-g(x)}\}}　とするとき。{\displaystyle F(x),G(x)}をそれぞれ求めよ。

⑶　{\displaystyle f(x),g(x)}をそれぞれ求めよ。

⑷　点Pの座標を{\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))}とおき、{\displaystyle {t}}が実数全体を動くとき、点Pの軌跡の概形を{\displaystyle {xy}}平面上に図示し、どのような曲線なのかを説明せよ。

 

⑴{\displaystyle \{{f(x)}\}^2}と{\displaystyle \{{g(x)}\}^2}をそれぞれxで微分して

{\displaystyle\frac{d}{dx} \{{f(x)}\}^2=2f'(x)f(x)}

{\displaystyle\frac{d}{dx} \{{g(x)}\}^2=2g'(x)g(x)}

 であるから、(A)を用いると

{\displaystyle\frac{d}{dx} \{{f(x)}\}^2=2f'(x)f(x)=2f(x)g(x)}

{\displaystyle\frac{d}{dx} \{{g(x)}\}^2=2g'(x)g(x)=2f(x)g(x)}

となるため

{\displaystyle\frac{d}{dx}[\{{f(x)}\}^2-\{{g(x)}\}^2]=0}

 このことから、{\displaystyle \{{f(x)}\}^2-\{{g(x)}\}^2=const}

(B)を用いると

{\displaystyle \{{f(1)}\}^2-\{{g(1)}\}^2=-1}

が示せた。

⑵{\displaystyle F(x)=e^{-x}\{ {{f(x)+g(x)} }\}} 

 　{\displaystyle G(x)=e^{x}\{{f(x)-g(x)}\}}

F(x).G(x)をそれぞれxで微分して

{\displaystyle F'(x)=-e^{-x}\{{f(x)+g(x)}\}+e^{-x}\{{f'(x)+g'(x)}\}}

{\displaystyle =e^{-x}\{{-f(x)-g(x)+f(x)+g(x)}\}=0}

故に、{\displaystyle {F(x)=const}}

同様に

{\displaystyle G'(x)=e^{x}\{{f(x)-g(x)}\}+e^{x}\{{f'(x)-g'(x)}\}}

{\displaystyle =e^{x}\{{f(x)-f(x)-g(x)+g(x)}\}=0}

故に、{\displaystyle {G(x)=const}}

{\displaystyle {F(0)=1}}

{\displaystyle {G(0)=-1}}

であるため、

{\displaystyle {F(x)=1}}

{\displaystyle {G(x)=-1}}

⑶{\displaystyle e^{-x}\{{f(x)+g(x)}\}=1}

   {\displaystyle e^{x}\{{f(x)-g(x)}\}=-1}

{\displaystyle {f(x),g(x)}}を未知数として連立方程式を解くと

{\displaystyle f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=sinhx}

{\displaystyle g(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=coshx}

⑷双曲線関数の相互関係を考えて

{\displaystyle cosh^{2}t-sinh^{2}t=1}　が成り立つので

このグラフは{\displaystyle x^{2}-y^{2}=-1}　を満たす双曲線である。

グラフは後日編集して載せます。（描き方がわかりません）

 

いかがでしょうか？そこまで難しい問題ではなかったと思います。高校数学とちょこっと大学数学ができたらなんとかなる当たり年ですね。

物理の解答も完成次第掲載したいと思います。勉強頑張りましょう！